最近重拾大学时候的概率论，因此做点小练习，我们假设一个场景。某细粮发布了一台车，发布会上上台了4台展车，结果很不幸当场坏了1台。那么如何判断这款车它的真实故障率水平呢。
最大似然估计
这是最基础的算法。假设这4台车是该型号车辆的随机抽取的（不是特调车），且每台车是否故障是相互独立的（符合二项分布）。
样本总量 n = 4
故障数量 k = 1
则该型号的样本故障率为：
区间估计
在统计学中，n=4 是一个极小的样本量。虽然算出来是 25%，但它的误差范围非常大。我们需要计算其95%置信区间。
因为样本极小，不能使用常规的正态近似法，必须使用精确的 Clopper-Pearson 算法或 Wilson 评分区间进行计算，我直接给结果。
下限：在95%置信度下，最低故障率约为 1.2%
上限：在95%置信度下，最高故障率约为 77.7%
结论： 我们有 95% 的数学把握认为，该型号车辆的真实故障率介于 1.2% 到 77.7% 之间。通常车企要求零部件的不良率以 PPM 即百万分之一来计算，一般是个位数（撑死也就小几十），哪怕取下限 1.2%，这辆细粮车也值得有一个自己的单位来表示故障率，叫 PPH 吧（Parts Per Hundred，每百件不良率）。
贝叶斯推断（预测下一台车坏的概率）
然而我只是一个消费者，我更关心的是：根据这场发布会，我买的下一台车能开出4S店期望概率是多少？这就需要用到贝叶斯定律。
假设在发布会前，我对这款新车一无所知，其故障率在 0 到 1 之间均匀分布，即先验分布服从 Beta(1, 1)。
现在我们观测到了4台车中1台故障（即1次成功，3次失败，这里在数学上将故障定义为事件触发）。
根据贝叶斯更新，后验分布将服从 Beta(1+1, 3+1)，即 Beta(2, 4)。
后验分布的数学期望（即预测故障率）为：
数学结论： 纯粹基于这场发布会的数据进行推断，你买一台该型号量产车，它不发生故障的数学期望概率高达 1-33.3% = 66.7%，也就是说，我们有66.7%的概率成功把车开出4S店。还是比较大的。
假设检验
我们可以用数学反证法来测试这车到底是不是个残次品。
原假设（H0）： 假设这是一款正常的工业产品，我们非常宽容地假设其早期故障率 p = 1%，也就是说一百台里面有一台有问题。
如果原假设成立，那么随机抽调 4 台车去发布会，至少坏 1 台的概率是多少？
这服从二项分布，概率公式为：
P(X >= 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^4
代入 p = 0.01：
P(X >= 1) = 1 - 0.99^4 = 1 - 0.960596 约等于 3.94%。
结论： 在统计学中，发生概率小于 5% 的事件被称为小概率事件。如果这车的真实故障率真的控制在 1% 的水平，那么展车坏掉的概率不到 4%。既然它偏偏在发布会上发生了，我们从数学上有充分理由拒绝原假设 H0，认为这车的真实故障率，绝对不可能只有 1%。
声明一下，鉴于本人最近沉迷统计学，以上内容仅为练习“贝叶斯定理”和“置信区间”而构造的纯假设场景。本文所有计算和推导均为虚构出来的极端教学场景。文中的“细粮”、“发布会”、“4台坏1台”等元素，均为ai随机生成的数学题题干。一切分析仅限于数学层面的学术探讨，不针对任何真实存在的企业或产品。 做题不易，谢绝跨界联想。
